Д.Д. Мордухай-Болтовский
     Ненатуральное и апагогическое доказательство в прошедшем и будущем
     
     1. Два типа логических операций
     Следует различать два типа логических операций. Первый - анализ и син­тез понятий. Понятие А не строится, но находится уже готовым, и путем рефлексии определяются существенные признаки: а, b, с..., с помощью которых оно относится к определенным классам.
     Наряду с признаками а, b, с, наличность которых представляется непосредственно очевидной, вскрываются еще признаки; а, Р, у---- налич­ность которых является уже спорной, так как эти признаки как бы освеще­ны колеблющимся светом, при одном употреблении понятия погружаются в мрак, при других - всплывают на свет. Исследование этих смутных эле­ментов анализа состоит в определении, т.е. в исследовании правомочнос­ти и неправомочности этих признаков путем подбора наиболее убедитель­ных случаев, в которых при особенно ясном выступлении контуров этого понятия спорные признаки совершенно стушевываются или же, наоборот, вполне определенно выступают на свет.
     С анализом связуется и синтез, выводящий из элементов анализа понятия А другие понятия В, С .... тоже обретающиеся в разуме, как и А, уже готовыми.
     Такого рода анализ понятий мы очень часто производим. Напри­мер, когда решаем вопрос о том, что такое глупость и что такое тупость, мы ищем типичные случаи, в которых мы определенно говорим: это - глу­пый человек, и такие, где мы скажем: тупой человек.
     Другим примером является исследование определений злости и черствости, скупости и жадности, которые иногда смешиваются между собой. Юридическое мышление во всяком случае принадлежит к этому типу. Оно ищет определения понятий, которые находит в мысли уже гото­выми. Этот тип может быть назван схоластическим, так кик он характери­зует схоластику, которая занимается почти исключительно определениями.
     Ко второму типу относятся операции силлогистические, попол­няющие признаки а, b, с ... другими неочевидными, но, в силу законов логики, неизменно связанными с а, b, с... В этой операции внимание направлено не во внутрь понятия, а вне его. Сперва понятие а берется как оно есть, даже без анализа, очищающего его от неправомочных при­знаков а, р, у..., и из совокупности а, b, с ... а, /?, /,. .и свойств, прису­щих классам, к которым относятся эти признаки, извлекаются другие свойства А: а', b', с'... a', ft', у'... Жизнь понятия здесь существенно отли­чается от жизни в среде операций первого типа.
     Этот второй тип мышления присущ математике. Но было бы оши­бочно думать, что при убеждении в чем-либо (а к убеждению и сводится доказательство в обычном смысле слова) действует только эта вторая, сил­логистическая операция.
     Раньше всего необходимо разобраться в понятиях, выявить опре­деление того, о чем идет речь, и здесь-то мы имеем, конечно, не вторую, а первую операцию; ведь в каждом споре мы раньше всего, да и больше всего являемся схоластиками. Сами же выводы мы делаем, не смешивая силлогистические операции с различными приемами, большей частью чи­сто психологического характера, заставляющими наших противников или учеников склоняться к признанию положений, нами не доказываемых, но представляющихся нам верными в то время, как другим - неверными или только спорными.
     Вся история математики от средневековья до настоящего времени идет по пути от анализа живых понятий к оперированию над мертвыми символами, от схоластического спора к формальному, алгебраическому аппарату, от убеждения к доказательству в смысле только установки фор­мально-логических связей.
     В начале кустарное производство ковров, в конце - фабричное их производство.
     Рамус и рамисты - это схоластики-математики. Декарт и рацио­налисты еще на полпути, они уже имеют аппарат, который работает над элементарными понятиями, которые еще остаются понятиями, и подход к ним чисто схоластический. Пеано и логистики оперируют уже только сим­волами.
     Резче всего эта смена настроения выражается в физике. Средневе­ковье живет аристотелевской физикой, анализируя свойства материи. Ра­ционалисты эти свойства сводят к движению и комбинациям элементов-атомов, или монад. В новейшей же физике эта "модель" расширяется в формально математический аппарат.
     
     2. Аристотель и схоластика
     Обычно принято отказывать схоластикам в оригинальности, сводить всю деятельность схоластики к комментированию уже данных Аристотелем решений им же самим поставленных проблем.
     В указанной мной схоластической проблеме об определении тогда можно видеть только проблему самого Аристотеля, те. не средневековья, а античной мысли. Но более глубокий анализ Аристотеля и схоластики вскры­вает глубокое между ними различие, хотя это различие и скрывается под аналогичной внешней формой словесной формулировки проблем.
     В противоположность схоластике Аристотель в случае нескольких понятий, означаемых одним и тем же словом, не ищет то, которое он дол­жен считать правомочным на это название. Он говорит о субстанциях с различных точек зрения. Он даже говорит о том, что больше и что меньше является субстанцией. Математические сущности, говорит он, менее суб­станции, чем чувственные тела.
     Для Аристотеля характерны двойственные положения: с одной сто­роны, А есть В, с другой стороны, А не есть В.
     Первое положение отвечает одному смыслу В, второе другому.
     "То, что более просто, - говорит Аристотель, - то скорее принцип, чем то, что менее просто. Но последние виды, заключающиеся в родах, более просты, чем роды, так как они неделимы, в то время как род может делиться на большое число различных видов; поэтому, как мне кажется. виды - более принципы, чем роды. Но, с другой стороны, в виду того, что уничтожение рода влечет уничтожение вида, роды имеют в большей мере характер принципов, так как то является принципом, что влечет за собой другое".
     Таким образом, здесь принцип понимается в двух смыслах: во-первых, то, что не может быть разделено, во-вторых, то, что влечет другое.
     Сам Аристотель не ставит проблемы: что такое принцип.  Это уже схоластическая проблема. Схоластический комментарий к этому аристоте­левскому рассуждению должен состоять в решении проблемы: что такое принцип, каково содержание смутного понятия о принципе, вскрываемого в душе и проясняемого с помощью тщательного анализа, с которым сме­шиваются другие смутные, колеблющиеся понятия, не допускающие тако­го прояснения.
     Единственное решение этой проблемы и будет отвечать верному из двух намечаемых Аристотелем положений. Другое же должно быть бе­зусловно отброшено.
     А называется В, С, D .... и каждое положение: А есть В, А есть С, А есть D - по Аристотелю - верно со своей точки зрения.
     "Подобными, - говорит Аристотель, - мы называем вещи, кото­рые, не будучи абсолютно тождественны, различаются в отношении субъек­та, но тождественны относительно формы. Четырехугольник больший по­добен меньшему, неравные прямые подобны между собой, хотя и не абсо­лютно тождественны.
     Но называют также подобными вещи, которые, имея ту же сущ­ность и будучи в состоянии делаться больше или меньше, тем не менее не делаются ни больше, ни меньше, иначе говоря, качество которых специфи­чески одно и то же. Именно в этом смысле говорят, что очень белое подоб­но тому, что менее бело, так как в них единство рода. Наконец, называют подобными вещи. представляющие больше сходства, чем различия, абсолютно или только по видимости; так, свинец больше походит на серебро, чем на золото; золото походит на огонь своим красноватым цветом и т.д."
     Таким образом, Аристотель только наблюдает, и наблюдения его дают эти три смысла подобия, но он не решает проблемы, что такое истин­ное подобие, которая является уже схоластической проблемой. Сущность античного мышления и состоит в собирании с помощью наблюдения при­знаков изучаемой вещи и выключения тех признаков, которые находятся между собой в противоречии, с отнесением их к обману чувств, в опреде­лении той совокупности признаков, которые выявляют, так сказать, реаль­ный скелет вещи.
     Античная мысль не реализует абстракции, как это делает средне­вековая. Платоновские идеи - это вовсе не реализованные универсалии, это образцы, которым подражают реальные единичные вещи, образцы, тоже реально существующие, но в каком-то другом мире. У Аристотеля эти идеи обращаются в формы и уже в нашем мире, в самих вещах, так сказать. души вещей, носители определяемых ими целей. В схоластическом реа­лизме общее понятие - универсалия - получает реальное существование, проблема об определении приобретает онтологическое значение.
     Что такое А? - с античной точки зрения, это - что в А - обман чувств, и что - правда?
     На вопрос, что такое субстанция, Аристотель не отвечает ее опре­делением. Но перед постановкой этой проблемы он дает определение суб­станции. Это, говорит он, первое сущее, при этом не тот или другой модус сущего, но сущее, взятое в абсолютном смысле, прибавляя, что понятие первого понимается в различных смыслах в отношении понятия, знания, времени и природы.
     Вполне сознавая несовершенство определения, он разбирает раз­личные смыслы слова "субстанция". Субстанция, говорят, - сущее, сущ­ность относят также к субстанциям, субстанцией является род, и субстан­ция - субъект. На этом последнем он более всего и останавливается, пояс­няя. что субъект есть то, чему все остальное является атрибутами, но сам он не является атрибутом чего-либо. Выбрав именно этот последний смысл, Аристотель исследует, что из признанного им реально сущим может быть названо в этом смысле субстанцией, и если приходит к заключению, что материя не вполне может быть названа субстанцией, то потому, что ей, как обладающей только потенциальным бытием, он не дает всей полноты ре­ального существования.
     Что такое А? - со схоластической точки зрения, это - какие харак­терные свойства присущи сущности, означаемой нами словом А, и наибо­лее стойкое из всех означаемых тем же словом.
     Античная мысль воспринимаемое извне перерабатывает внутрен­ней работой. Средневековая - смотрит внутрь, вполне доверяя своему внут­реннему взору, проецирует его материал вовне, в сферу реального транс субъективного существования. Всякая проблема для нее имеет онтологи­ческое значение, оно раскрывает содержание реальной сущности, разъяс­няя то, что в первый момент рефлексии представляется в смутном виде.
     Вот все это следует хорошо продумать, чтобы понять, почему логи­ка схоластическая и рамическая, которая ближе к первой, чем о ней дума­ют, относится так враждебно к Евклиду, который является кровью от кро­ви, плотью от плоти аристотелевской логики.
     Для Аристотеля и Евклида определение вовсе не имеет того значе­ния, которое ей приписывает Рамус. Евклид вовсе не строит системы гео­метрии, ни в смысле Рамуса и Арно, развертывая ее соответственно оп­ределенной иерархии понятий, ни в смысле Гильберта, выводя все ее содержание как формально-логические следствия групп постулатов. Он только убеждает в том, что некоторые геометрические факты, им наблю­даемые, часто представляющиеся совершенно очевидными, не представ­ляют обмана чувств, а в действительности имеют место, причем большин­ство из них имеют только посредственное значение для установки свойств правильных тел, имеющих кардинальное значение в платоновско-пифаго­рейском мировоззрении и без изучения которых нельзя войти в святилище метафизики.
     
     3. Схоластика в современной науке
     Для нас интересней положительная, а не отрицательная сторона прошло­го. Пройденный нами путь - это не ряд одних заблуждений, это скорее ряд истин, хотя и смешанных с заблуждениями. Чистая истина недоступна уму человеческому. Познаваемое всегда представляется в искаженном виде, но искажения эти весьма различны, так как сильно меняется точка зрения, с которой мы смотрим. Можно сделать сравнение с предметом, который мы не можем обнять одним взором и который отделен от нас туманом, мы ходим вокруг него. рассматривая его с различных сторон и ни с одной сто­роны мы не видим его полностью и во всей чистоте.
     Схоластическая точка зрения, вызываемая схоластическим типом мышления, вовсе не даст одни заблуждения. И теперь может ставиться схоластическая проблема, но она уже не будет привлекать того внимания, что раньше, вследствие того. что человеческий интеллект изменился и в своих вкусах, и в своих способностях,
     Схоластическое исследование было бы не больше, чем подражани­ем средневековой схоластике, совершенно таким же образом, как совре­менная католическая архитектура является подражанием готике. Речь мо­жет идти не о восстановлении схоластической науки, а только о схоласти­ческом элементе, который не может быть совершенно изъят из современ­ной науки. Существует область, где в довольно широких размерах должна еще жить схоластическая проблема определения, а именно в методике.
     Здесь формальная точка зрения совершенно невозможна. То, что изучает­ся, должно быть определено, причем именно в схоластическом смысле.
     Определение здесь не может быть только ярлыком, наклеивае­мым на совокупность признаков.
     Взяв понятие как оно есть, в своем смутном виде, в душе учаще­гося, следует вместе с ним проанализировать его и вскрыть его характер­ные признаки и очистить его с помощью последних. Мы не будем гово­рить, каким образом учащийся приводится к окончательному определе­нию и какие из определений основных математических понятий являются наиболее подходящими. Это все проблемы методики, важность которых современной методикой вполне осознана.
     Но и в чистой научной области чистый формализм все-таки недо­стижима все определения не сводятся к чисто номинальным. Конечной целью науки является познание вещей, которые некоторым образом уже частично познаны, так как мы, приступая к научному познанию, уже зна­ем, к чему его прилагать. Мы не будем сейчас заниматься гносеологичес­ким вопросом, каким образом это первичное до-научное знание приобре­тается, но мы укажем только на то, что оно есть и что оно даст познаваемую вещь как цель, переизложенной и еще не выраженной в логических терминах,
     Проблема определения состоит в изыскании характерных призна­ков а, b, с ..., но не следует думать, что вскрытие признаков дает полнос­тью эквивалент определенному. В конечном итоге все познаваемые вещи неопределимы.
     Схоластическая проблема даст не полное, а только приближенное значение.
     То, к чему относятся определения, аксиомы и выводимые отсюда положения, никогда целиком не совпадает с тем. к чему относятся выстав­ляемые наукой проблемы. Пересечение двух кривых не может быть опре­делено. Геометрия говорит об общей точке кривых, а не об их пересече­нии.
     
     4. Доказательства: что это так, и почему это так
     Аристотелевское определение: "знать - это иметь доказательство не из акциденций" схоластикой толкуется уже, чем его понимал сам Аристо­тель, разумея акциденцию в чисто логическом смысле.
     Акциденциальнос, случайное свойство, по Аристотелю, то, кото­рое может оказаться в виде, принадлежащем роду А, и может не оказаться.
     Ему противополагается существенное свойство, присущее только видам рода А.
     Аристотель привносит в логику элемент времени. Самая формули­ровка закона противоречия, отвергающая возможность вещи в одно и то же время быть и не быть, содержит этот временной момент. Вне сомнения и понятие случайности носит этот характер и понимается в том смысле, что свойство не всегда присуще А, такова, например, болезненность, отне­сенная Аристотелем к случайным свойствам не только потому, что она при­суща и птицам, но и потому, что каждый человек может быть сегодня бо­лен, а завтра здоров.
     От существенных свойств Аристотель требует, чтобы они были присущи видам только данного рода, причем всегда.
     Схоластическая мысль, с одной стороны, освобождается от пут вре­мени, с другой стороны, идет дальше в смысле предъявления требований к существенным свойствам как основе знания.
     Она ищет не только устойчивые признаки, могущие служить опре­делением. но и такие, которые обладают своего рода приоритетом, высту­пая в мысли и раньше и выпуклее, претендуя достигнуть, так сказать, нут­ра вещи. Из них другие свойства вещей должны выводиться.
     Понятие о существенных свойствах подвергается метаморфозе, при которой переступается сфера чисто логического анализа даже с аристоте­левским временным элементом и за существенными свойствами усматри­вается уже онтологическое значение.
     После этой длинной характеристики схоластического настроения читатель поймет матиматематиков XVI и XVII веков. С яростью набрасы­ваясь на математику, они приводят в пользу своих антиматематических взглядов авторитеты древних, толкуя их, конечно, по-своему.
     Прежде всего приводятся слова Прокла: "геометрия менее всего познает причины".
     Всякое знание разъясняет (demonstrat) причину по эффекту, эффект
     - по причине (causam per enectum, vel effectum per causam). У Прокла causa и effectus понимается в физическом смысле и противополагается логичес­кому основанию и следствию, из него вытекающему, а антиматематиками - именно в этом последнем смысле, так что математик обвиняется в том, что дает не те логические обоснования, какие следует дать
     Ссылаются и на Сенеку, который говорит, что аргументы геомет­рии не убеждают, а вынуждают. Соглашаясь с первой аксиомой "Начал" Евклида, антиматематик недоволен доказательством, на ней основанным. Он не видит в нем знания, ибо всякое знание это изучение существенных причин (principia per se).
     Причина равенства А и В вовсе не это третье, но только их количе­ство. и не существуй это третье, они все равно были бы равны. Отношение равенств А к С. В к С с чисто аристотелевской точки зрения можно отнести к существенным свойствам, но схоластическая мысль видит тут внешний характер, ничего не говорящий о сущности А и В и относить их к несуще­ственным свойствам.
     Характерна критика 1-й теоремы 1 книги "Начал" Евклида
     "Здесь, - говорит Симплициус, - доказывается, что треугольник равносторонний, из того, что он построен между тремя кругами и имеет все свои стороны проходящими через центры окружности. Никто здесь не видит истинной причины существования. Ведь не потому треугольник рав­носторонний, что он построен между тремя окружностями, ибо, если бы он и не был построен между ними, все равно был бы равносторонним, откуда следует, что такая причина - только случайная причина этого свой­ства. - Вот идеал математики: она должна, определив треугольник его су­щественными свойствами, затем извлечь оттуда и все его свойства совер­шенно так, как схоластик из определения бога, как совершеннейшего су­щества, извлекает его бытие, единство и т.д. К чему Евклиду проводить круг, когда истинная причина всех свойств треугольника лежит в нем са­мом?"
     Характерно также возражение Валлиса уже в XVII веке. Он со­глашается с тем, что это так, что математики часто оперируют не per veram proximam causam (не через истинную ближайшую причину), но прибавля­ет, что все-таки математика достаточно научна, ибо она выводит все из природы вещи per medium necessarimi (через среднее необходимое), т.е. все-таки выполняет хотя бы часть предъявляемых Аристотелем требова­ний.
     Он соглашается, что доказательство первого положения "Начал" Евклида во всей своей целостности есть τω οτι (что это так) и что идеа­лом доказательства является τω διοτι (почему это так), и отмечает, что у Евклида имеются и последнего рода доказательства.
     Но какой пример он приводит?
     Вывод из определения: "круг - плоская фигура, заключенная в кри­вой с точками, равноотстоящими от центра", заключение: радиусы рав­ны.
     Самая природа круга, говорит Валлис, требует, чтобы точки ок­ружности равно отстояли от центра: немедленно отсюда следует уже по истинной и ближайшей причине, что все радиусы, которыми измеряются эти расстояния, равны Анализируя доказательство положения Евклида, Валлис приходит к заключению, что и здесь последний вывод делается из истинной причины. Равносторонность треугольника выводится из того, что стороны равны, а вовсе не из того, что он оказывается в трех равных кру­гах. а равенство сторон, действительно, выводится из этого последнего. так что только промежуточные доказательства делаются не per veram causam.
     Савилий, ссылаясь на Геминуса, находит, что ярким примером, когда математик учит не только тому что есть, но и тому, почему это так, является исследование пяти платановых тел: в то время, как в окружность можно вписать правильные многоугольники с каким угодно числом сто­рон, в сферу можно вписать только пять правильных тел: математик дает разъяснение, почему это так, исходя из существенных свойств многогран­ников.
     
     5. Требования пор-роялевской логики
     С течением времени доказательства "это так" все меньше смущают ум, и у рационалистов сомнение касается только доказательства от противного, которое у них не только получило полное право гражданства, но и пред­ставляет наше главное орудие доказательства.
     Но отзвуки этих нападений антиматематиков имеются у Арно.
     Арно вооружается не только против апагогического доказатель­ства, но и против доказательств слишком удаленных (Demonstrations par des voies trop eloignés).
     "Этот недостаток, - говорит он, - общий для всех геометров. Они вообще не заботятся о том, откуда их аргументы берутся, лишь бы они были убедительны, но между тем это - доказывать вещи очень несовер­шенно, если доказывать с помощью чуждых им путей, откуда они не выте­кают согласно их природе.
     Здесь, конечно, заключается нечто совершенно иное, чем лежандрово требование простоты доказательства.
     Как доказательство, грешащее против этого правила, Арно выс­тавляет евклидово доказательство:
     I. 5-го положения 1 книги "Начал" (на школьном средневековом жаргоне: elefugia).
     В равнобедренном Δ  ABC:
     1) углы ABC и АСВ при основании ВС равны между собой;
     2) если продолжить равные стороны АВ и ВС, то углы, образован­ные ниже основания, DBC и ЕСВ, будут также равны.
     Евклид доказывает, беря на продолжении BD стороны АВ произ­вольную точку F и на АЕ точку G так, что AG ≡ AJF, соединяя прямыми F с С и G с В и затем доказывая, что
     Δ ACF  подобен  Δ  АВО и Δ  РВС подобен Δ CBG.
     II. 47-го положения I книги, т.е. теоремы Пифагора. Арно представляется совершенно невероятным, чтобы доказатель­ство равенства углов при основании равнобедренного треугольника, т.е. такой простой, почти очевидный факт, требовало столь сложного логичес­кого аппарата, зависящего от иных, чем данный, треугольников, получае­мых через продолжение сторон данного, как это делает Евклид. Арно кажется очевидным, что простая истина и просто доказывается. Впрочем, в это верили и Лежандр и его современники. Но Арно верит и в то, во что уже не верил Лежандр, а именно, что для всякого простого положения должно быть не только простое, но и натуральное доказательство.
     Что такое натуральное доказательство, Арно не определяет, но вид­но, что это что-то приближающееся к доказательству "почему?", о котором мы выше говорили, но в котором "существенность" свойств и причин за­менена их "простотой" и "естественностью" - элементами, включающи­ми, как и картезианская "очевидность", моменты психологические.
     По Арно, доказательство пифагоровой теоремы у Евклида совер­шенно не натурально, ибо равенство квадратов, о котором в этом доказа­тельстве говорится, в простейшей, натуральной зависимости находится не от равенства треугольников, употребляемых при доказательстве, а от про­порциональности линий, которую следует доказать, не прибегая ни к ка­кой линии, кроме перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на основание треугольника.
     Здесь Арно говорит как будто в духе Симплициуса, но его нату­ральное доказательство - это не что иное, чем вывод свойств бога из его определения. Рекомендуемым им перпендикуляром антиматематик XVI века остался бытак же недоволен, как кругами в первом положении "Начал" Евклида.
     
     
     6. Апагогическое доказательство у Евклида.
     Евклид довольно широко пользуется так называемым приведением к аб­сурду, иначе говоря, апагогическим доказательством, состоящим в том, что положение А доказывается опровержением противного не-А с помощью вывода из последнего невозможного следствия. Этот прием доказательства, конечно, пускает свои корни с софистики. И в самом деле, именно он является наиболее удобным для софиста. К признанию высказанного со­фистом положения собеседник приводится, доходя вместе с софистом от противоположного своему положения к абсурдному следствию. Именно этот способ давал наиболее легкий способ одурачивания: принуждением его остановиться на явно нелепом положении, возбуждающем улыбки присут­ствующих. В разделительном силлогизме; первая посылка - А есть или В или С или D - давалась неполной, опуская почему-либо менее бросающе­еся в глаза "... или Е". Вторая посылка - D не есть ни В, ни С - доказыва­лась извлечением из "А есть В", "А есть С" нелепостей. Тогда заключени­ем этого условного силлогизма (modus tollendo ponens) получалось "А есть D", откуда тотчас выводилась нелепость, являющаяся непосредственно очевидной.
     Начало апагогического доказательства должно отнести к элейцам. Этим приемом Парменид доказывает, что бытие не происходит и не унич­тожается. Основная аксиома: небытие не может быть бытием (ex nihilo nihil fit). Если А происходит из В, то В становится А, т.е. небытие стано­вится бытием. Бытие не уничтожается, так как бытие всегда есть бытие.
     Античная математика не заботится о системе геометрии, о каких-либо принципах или общих свойствах пространства, из которых вытекают свойства геометрических фигур. Она только старается убедить читателя в истинности подмеченных свойств.
     Можно сказать, что математик эпохи Платона, Аристотеля, Евкли­да терроризован софистами, он боится каждую минуту попасть в расстав­ленные последними силки и борется или, вернее, строит укрепление про­тив их нападений по всем правилам искусства, ими же самими выработан­ным.
     Чтобы заставить согласиться со своими теоремами, он должен преж­де всего заставить, не приводя доказательства, согласиться со своими ак­сиомами и постулатами, и, конечно, он может тем скорее рассчитывать на это согласие, чем меньше этих аксиом и постулатов. Но сокращение после­дних должно вести к ограничению свободы выбора логических путей, ве­дущих от них к теоремам: наряду с прямыми доказательствами приходит­ся применять и косвенные, апагогические.
     Современный математик (вне сферы чисто аксиоматической ра­боты) заинтересован не столько в сокращении начальных звеньев логичес­кой цепи, сколько в умножении конечных.
     Трудность выставляемых современными математиками проблем является другой причиной трудности разыскания логических путей и необ­ходимости привлечения [наряду] с прямыми доказательствами в широкой мере и косвенных.
     
     § 7. Типы апагогических доказательств
     Апагогическое доказательство отличается от прямого тем, что оно наряду с математическими аксиомами пользуется логической аксиомой, которой не пользуется прямое.
     Всякое апагогичсское доказательство предполагает приложение закона исключенного третьего.
     Следует доказать А. Предполагается, что имеет место не-А и от­сюда выводится абсурд - отрицание верного положения С - не-С. Таким образом, уже в начале доказательства утверждается альтернатива: А или не-А, и ничего третьего. Обратно, если в начале или в самом ходе доказа­тельства применяется закон исключенного третьего, то или доказательство ведется от противного, или последнее содержится в доказательстве как со­ставная часть. В самом деле. приложение его предполагает в начале и в ходе доказательства альтернативу В или не- В и снятие одного члена аль­тернативы путем доказательства его невозможности. Если снимается не-В тем, что не-В приводит к не-С. к отрицанию заведомо верного положения, то можем сказать, что положение доказывается апагогически. Если снима­ется В, то имеем апагогическое доказательство в замаскированной форме.
     Заменою В через не-(не-В) мы получаем его в чистой форме: не-В дока­зывается приведением нс-(не-В) к не-С (абсурду).
     Получаемый в конце апагогического доказательства абсурд может быть трех родов:
     1) противоречие с уже признанной аксиомой или уже доказанным положением,
     2) противоречие с условием теоремы,
     3) противоречие со сделанным предположением.
     Чтобы яснее и глубже вникнуть в конструкцию каждого из этих типов, мы ограничимся только простыми апагогическими доказательствами с единичным приложением в самом начале закона исключенного третьего.
     Доказать А.
     Предположим не-А - абсурд.
     Если принять обозначение:
     Если В, то А через В, А,
     то можно для первого типа наметить схему:
     В, А; В - не-А - не-С.
     В "Началах" Евклида пример такого простого разомкнутого до­казательства - 27-е положение книги I: о параллельности прямых при ра­венстве накрестлежащих углов. Отрицание приводит к противоречию с теоремой о внешнем угле треугольника.
     Десятая теорема III книги - о пересекаемости кругов не более, чем в двух точках. Отрицание приводит к противоречию с 5-й теоремой III кн. о неимении у пересекающихся кругов общего центра.
     17-я теорема XI книги - о перпендикулярности прямой пересече­ния двух плоскостей, перпендикулярных к третьей, к этой последней. От­рицание против 13-го положения XI кн. (о возможности восстановления только одного перпендикуляра к плоскости). Примеров простых разомкну­тых доказательств, приводящих к отрицанию аксиом, очень много. У Евк­лида обычно такой аксиомой является 9-я I книги: целое больше части, причем доказательство носит полуинтуитивный характер. Таковы доказа­тельства предложения 2-го III книги о том, что прямая, соединяющая две точки окружности, лежит внутри ее. предложение 11-е о прохождении ли­нии центров через точку касания кругов, предложение 18-е и 19-е книги III и 36-е книги VII о том, что наименьшее число, содержащее простые числа А, В, есть произведение АВ, - отрицание приводит к тому, что мень­шее число содержит большее; к тому же приводит и отрицание 1-го поло­жения книги VIII.
     Второй тип апагогического доказательства, сомкнутый на условии:
     В, А В, не-А - не-В, не А.
     Примеры: 25-е положение VII книги: если два числа взаимно про­сты, то число, содержащееся в одном из них, будет взаимно простым с другим. Отрицание приводит к признанию А н В не взаимно простыми.
     Того же типа 26-е и 30-с положения III книги.
     Третий очень редкий тип - сомкнутый на заключении, причем мо­жет быть два типа:
     В, А - В, не-А - А.
     Этот тип встречается у Евклида только один раз, а именно в до­казательстве 12-го положения IX книги "Начал": "Пусть будет сколько ни есть от единицы непрерывно-пропорциональных чисел ABCD, говорю, что всякие первые числа, кои содержатся в D, будут содержаться и в А".
     Говоря современным языком,
     1, А, В, C,D -
     члены геометрической прогрессии
     1:A=A:B - B:C=C:D;
     следует доказать, что всякий простой делитель D - делит также и А.
     Евклид предполагает противное, что Е не делит А, и опровергает это предположение, выводя из него: Е делит А.
     Этот редкий прием употребляется и Саккери в его "Euclides ab omni naevo restitutus" при его попытке доказать 5-й евклидов постулат. Саккери принимает за данные 26 первых положений "Начал", допускает предполо­жительно ложность этого постулата и старается вывести из этого положе­ния верность самого постулата.
     Второй подтип - замкнутый не в начале.
     Из не-А извлекаются двумя путями два противоположных заклю­чения : Е и не-Е.
     Первый подтип можно рассматривать как предельный ко второму, когда Е совпадает с А

В, А	В - не-А - Е      В - не-А - не-Е

     Пример: положение 7-е I книги: "Если концы соединить с точками С и D по одну сторону, то расстояния СА и СВ точки С от концов AB не могут быть равны, каждое каждому, расстояниям DA и DB точки D от кон­цов AB".
     AD = AC;  ∟ ACD = ∟ ADC, ∟ ADC < ∟ BDC, ∟ BDC > ∟ BCD;
     BD - DC, ∟ BDC = ∟ BCD,
     что противоречит предыдущему.
     Сложному апагогическому доказательству второго порядка отвеча­ет схема:

В, А	В, не-А - D, С - абсурд.      D, не-С - абсурд.

     
     Доказательство может быть дважды разомкнутым, когда оба коле­на приводят к отрицанию доказанного положения или аксиомы.
     Может быть замкнуто-разомкнутым, если в одном колене имеется замкнутое, в другом разомкнутое апагогическое доказательство.
     Наконец, возможен дважды замкнутый тип. При этом будем иметь подтип, смотря по тому:
     1) имеет ли место замыкание на условии или на заключении,
     2) на D, на В или ином положении Е.
     Дважды разомкнутое доказательство употребляется Евклидом в положении 24-м III книги: подобные сегменты АСВ и CDF, построенные на AB = СЕ, равны.
     Если нет, то С: один вмещает другой; если не-С, - пересекаются.
     Первое предположение приводит к противоречию с 23-м положе­нием III книги, второе - с 10-м III книги.
     Пример замкнутого на условии: так обычно доказывается теорема, обратная теореме: в выпуклом вписанном четырехугольнике сумма проти­воположных углов = Id.
     А именно, если сумма = 2d, то можно описать около четырехуголь­ника окружность. Проводя окружность через три вершины, мы должны иметь четырехугольник внутри или вне круга; в обоих случаях доказывает­ся, что сумма противоположных углов не = 2d.
     Пример замкнутого на положении Е доказательства даст метод ис­черпывания Евклида (предложения 1, 5, 11, 12 XII книги).
     
     § 8. Борьба против апагогического доказательства
     Аристотель только довольно робко выдвигает преимущество прямого доказательства перед косвенным.
     При этом его аргументы, как совершенно не гармонирующие с на­строением умов XVI, а тем более XVII века, в эту эпоху уже не повторяются.
     По его мнению, более согласны с природой выводы, в которых мы от включения или выключения из класса В переходим к включению или выключению из класса С, объемлющего В.
     Положение "ни одно А не есть С" первое, чем "ни одно А не есть В", мы в нем ближе подымаемся к принципам.
     В апагогическом доказательстве порядок обратный:
     Следует доказать, что А не есть В.
     Предполагаем: некоторые А суть В. Все В суть С. Заключаем: не­которые А суть С, что неверно, и поэтому ни одно А не есть В.
     Но, по Аристотелю, все-таки тем или другим путем достигается цель науки - построение связи между вещами и общими положениями, выставляемыми в начале науки.
     Крайняя неприязнь рационалистов к косвенным доказательствам вытекает из их общего мировоззрения, старающегося все многообразие вселенной вывести из одного мирового принципа с помощью постепенно­го ряда ограничений, созидающих, как логическое следствие из простых, так же легко формулируемых, как теоремы геометрии, свойств божества, все содержание вселенной.
     В глазах рационалиста вся вселенная представляется как ряд взаи­моотношений, вытекающих из небольшого числа аксиом, относящихся к простейшим отношениям. В своих построениях, как метафизических, так и математических, он задастся целью не только убедить, но и объяснить,  т.е. представить ряд доказанных положений как связную систему истин в порядке, отвечающем установленной им иерархии истин.
     Комментатор "Начал" Евклида этой эпохи занят выпрямлением евклидовых апагогических доказательств, что достигается введением явно и неявно новых аксиом.
     В выпрямленные доказательства III книги "Начал" Озанама при­ходят в скрытом виде аксиомы теории пределов.
     Вообще исчисление бесконечно малых со всей системой аксиом, на которых оно основывается, является как система выпрямленных дока­зательств вместо более сложного апагогического метода исчерпывания.
     В XVI веке нападки на апагогические доказательства ведутся как против доказательств "это так", идущих через несущественные свойства.
     Но с ними легче мирятся, чем в XVII веке.
     Савилий, возражая Иосифу Скалигеру на его нападки против апа­гогического доказательства, объявляет, что "оно равно прямому в отноше­нии истинности и необходимости, но ниже в отношении происхождения и достоинства" (scientiae generatione et dignitate inferior).
     Совершенно в духе XVI века кладя центр тяжести интереса в ме­тодах изыскания истин, он не может признать (как он выражается) одно­бокой геометрии, он ждет от сокращения методов и сокращения области обретаемых истин, но не потому, что их нельзя вообще добыть прямым доказательством, а потому, что этого нельзя сделать сейчас. В апагогичес­ких доказательствах он видит целый арсенал орудий.
     
     § 9. Полная математическая индукция.
     На что указывает история доказательств?
     На то, что приходится все понижать требования, к ним предъявля­емые. Сперва желали доказывать не только прямым путем, но еще и нату­ральным, понимая это в смысле доказательств "почему", т.е. адекватными, существенными и непосредственными причинами. Потом, примирившись с ненатуральными доказательствами, требовали прямых, т.е. обходящихся без аксиомы исключенного третьего. Но пришлось и от этого требования отказаться. Более того, именно апагогическое доказательство явилось глав­ным двигателем в лаборатории математической логики.
     Возведение принципа полной математической индукции в опре­деление целых чисел совершенно затушевывает его истинное значение, выявляемое его историей, как логического постулата.
     Это вовсе не свойство конечных целых чисел, а постулат, которым мы должны восполнить систему логических постулатов, чтобы быть в со­стоянии относительно чисел доказать то, что мы не можем доказать арис­тотелевской логикой.
     Обоснованность такого рода рассуждений, как справедливо заме­чает Пуанкаре, сводящегося к заключению из бесконечного ряда силло­гизмов, могла быть признана только тогда, когда математическая мысль вполне свыклась с бесконечными операциями и установила постулаты, определяющие получение определенных результатов с помощью этих опе­раций.
     Это, конечно, не математическая аксиома, относящаяся к свой­ствам чисел или пространств, но и как логическая аксиома она коренным образом отличается от так называемых логических законов: тождества, противоречия и исключенного третьего.
     Это, положение того же рода, что аксиома силлогизма, утверждаю­щая истинность заключения при истинности посылок.
     U верно. V верно. Из U и V выводится W. W верно, как U и V.
     Отсюда вытекает более общего характера положение, которое тоже признается за очевидное. Если из U₁ U₂, ... U_n конечным числом силлогиз­мов выводится W, то при истинности U₁ U₂, ... U_n истинно также и W.
     Из этой аксиомы ничего не выводится, она вовсе не включается в систему основных постулатов, а стоит совершенно особняком, санкциони­руя правила формальной логики, на основании которых совершается вы­вод.
     Античными мыслителями признавались только те выводы, кото­рые в действительности произведены, в которых прослежены все посылки и заключения.
     В полной математической индукции узакониваются выводы через бесконечный ряд силлогизмов.
     Входящие в этот процесс силлогизмы не осуществляются в дей­ствительности, ибо нельзя произвести бесконечное число силлогизмов, но утверждается, что если U и W можно связать бесконечным рядом силло­гизмов - U₁ U₂, ... U_n да и закон образования можно ясно уразуметь, то при истинности U следует признать и истинность W.
     При этом в положении: "если U истинно и существуют силлогизмы и U₁ U₂, ... U_n, связующие U с W, то W истинно" понятие "существовать" подвергается эволюции.
     В глазах античного математика существование не присуще акту­альной бесконечности, противоречия которой доказывают ее небытие.
     Поэтому такая аксиома для N = ∞ не только не была бы им призна­на очевидной, но более того - была бы признана совсем не имеющей смыс­ла, ибо относилась бы к тому, что невозможно.
     Аристотель вполне определенно говорит, что в положительных доказательствах не может быть бесконечного ряда ни при восхождении к высшему, ни при нисхождении к низшему понятию. Предполагая беско­нечность доказательного пути, мы отвергаем самую возможность доказа­тельства.
     
     § 10. Логика доказательств в будущем
     Удивительно, что и теперь еще не все математики осознали, что основная проблема о доказательстве в смысле вывода истинного положения А из системы постулатов, обладающих психологическим свойством очевиднос­ти, совершенно того же рода, что задача об интегрировании в конечном виде или построении с помощью циркуля и линейки. Она может разре­шаться, может и не разрешаться, причем в большинстве случаев обычно не разрешается. Постулатов очевидных просто может оказаться недоста­точно для вывода.
     В XVI веке выставлялось требование доказывать, только оперируя существенными свойствами, в XVII - только прямым путем. Это очень интересные проблемы, и опыт показал, что они едва ли разрешимы. В бу­дущем математики к ним вернутся, превратив их в аксиоматические про­блемы, формулируя их следующим образом:
     1) Можно ли положение А вывести из постулатов U₁ U₂, ... U_n  (безразлично, зависимых или независимых), которые не включают опре­деленных объектов a₁ a ₂, ... a _n и, если возможно, построить этот вывод.
     2) Можно ли положение А вывести из P₁ P ₂, ... P _n прямым путем и, если возможно, построить этот вывод.
     Проблема о доказательстве с помощью принципа полной матема­тической индукции будет ставиться таким образом:
     Возможен ли вывод А из P₁ P ₂, ... P _n, (вообще из очевидных посту­латов) 1) с помощью конечного числа силлогизмов? 2) с помощью счетно­го их множества?
     При этом и последняя проблема не всегда явится разрешимой.
     Мы определенно предсказываем, что будущей математикой будет вполне осознана невозможность установки связей между всеми истинны­ми положениями. Эта связь будет устанавливаться только в некоторых груп­пах, причем основными, исходными положениями группы вовсе не будут обязательно очевидные положения, что будут скорее просто более простые, легче проверяемые.
     Но, как и в других случаях, проблема о выражении через элементы определенного класса по основании ее неразрешимости должна эволюционировать в другую, более общую проблему, получаемую путем расшире­ния той области элементов, в которой ищется решение.
     Изыскание связи между положениями будет пониматься в более широком смысле изыскания связей, определяемых не только формальны­ми законами логики, но и другими формальными законами, аналогичны­ми первым, но уже не имеющими логического смысла, - металогически­ми. Зачатки такой металогики мы уже имеем в логике трансфинитной, в которой устраняется закон исключенного третьего: кроме А и не-А высту­пает еще нечто третье, причем это третье мыслится как определенная тре­тья возможность наряду с А и не-А.
     Можно построить формальный аппарат такой металогики, кото­рая так будет относиться к логике, как четырехмерное пространство отно­сится к трехмерному.
     Такие выводы уже ничего не будут содержать из "почему", но пра­вильные результаты, ими получаемые, будут говорить, что и в других слу­чаях аппарат будет говорить: "это так".