Степанов Ю. С. Протей: Очерки хаотической эволюции. - М.: Языки славянской культуры, 2004. - 264 с.

 

188

V. Фракталы

1. Вводные замечания

Фракталы— это новый общий объект биологии, геометрии, а теперь и теории искусства. Несмотря на это, достаточно общего, а главное— достаточно доступного неспециалисту определения до сих пор не дано, и нам придется в очень краткой и упрощенной форме извлекать из наблюдений это определение.

Но сначала— об атмосфере появления фракталов как нового объекта изучения. Прежде всего, это объект и материального мира, и мира ментального. Когда береговая линия какого-либо морского побережья оказывается и линией, разделяющей сушу и воду, и одно­временно линией, зависимой от процесса ее измерения (чем более детально измерение, тем длиннее оказывается линия как его резуль­тат), то уже здесь по-новому устанавливаются отношения между материальным явлением и явлением ментальным. В более расплыв­чатом виде, но в не менее энергетически сильном виде, с этим же, в сущности, столкнулись мы в нашем разделе введ. №11: независи­мость духа отстаивается на территории, с одной стороны, и в авто­портрете художника, с другой. (Поэтому, хотя и не обдумано зара­нее, но «органически», естественно данный раздел оказался на дан­ном месте, как давно уже обобщили англичане в своей поговорке «The right word on the right place».)

Рассмотрим один пример именно с линиями (он переходит из одной книги по фракталам в другую, поэтому мы не будем описы­вать его лишний раз сами, а воспользуемся одним из последних из­ложений — [Тарасенко 2002, 12]) — это построение так называемой «кривой Коха».

«Рассмотрим построение триадной кривой, которую впервые ис­следовал в 1904 году шведский математик Хельге фон Кох (рис. на с. 189).

Возьмем прямолинейный отрезок длины 1. Назовем его затрав­кой. Разобьем затравку на три равные части длиной в V3, отбросим

 

189

среднюю часть и заменим ее ломаной из двух звеньев длиной ¹/з та­ким образом, чтобы средняя часть оказалась основанием равносто­роннего треугольника со стороной V3.

Мы получили ломаную, состоящую из четырех звеньев с общей длиной ⁴/₃, — так называемое первое поколение.

Для того чтобы перейти к следующему поколению кривой Коха, надо у каждого звена аналогично отбросить и заменить среднюю часть.

Соответственно, длина второго поколения будет равна ¹⁶/9, третьего — ⁶⁴/27 и так далее.

Если продолжить этот процесс до бесконечности, то в результате получится триадная кривая Коха.

Рассмотрим свойства этой кривой.

Во-первых, эта кривая не имеет длины — как мы убедились, с увеличением числа поколений ее длина стремится к бесконечности.

Во-вторых, к этой кривой невозможно построить касательную — каждая ее точка является точкой перегиба (особой точкой или син­гулярностью), в которой производная не существует, — эта кривая не гладкая.

Длина и гладкость — фундаментальные свойства кривых, кото­рые изучаются как евклидовой геометрией, так и неевклидовыми

 

190

геометриями типа геометрий Лобачевского или Римана. На основа­нии этих свойств развиваются методы анализа и преобразования геометрических фигур.

К триадной кривой Коха традиционные методы геометрического анализа оказались неприменимы. Поэтому кривая Коха оказалась чудовищем — "монстром" среди гладких обитателей традиционных геометрий.

Одним из первых, кто досконально начал изучать "монстров", был Карл Вейерштрасс».

18 июля 1872 года, — продолжает Тарасенко (в указ. книге), — в докладе Берлинской академии наук Вейерштрасс доложил пример негладкой непрерывной функции.

График этой функции самоподобен, то есть инвариантен (неиз­менен) при определенных преобразованиях координат (растяжения по абсциссам в b раз и в 1/а раз по ординатам). В малом масштабе дублируются детали крупного масштаба, в результате этого можно говорить, что это функция никогда не сводится на малом отрезке к линии — она непрерывна, но не имеет дифференциала и производ­ной. Функция имеет очень сложную «пилообразную» структуру — причем на «пилы» большего масштаба до бесконечности наклады­ваются «пилы» меньшего.

Функция задается рядом:

W(x) = ]Г а^п cos(bⁿnpx\ a<lb>l,ab>l.

л=1

 

191

Фракталы — новое явление, открытое и все еще открываемое в наши дни. Термин фрактал был придуман математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 г. (широко использоваться стал с 1980 г.), но яв­ление или, лучше сказать, целый класс явлений, которые этим тер­мином покрываются, был известен в отдельных примерах еще с древности (например, в виде апории Зенона «Догонит ли Ахиллес черепаху?») и неустанно пополняется вплоть до наших дней. Мы знаем многие такие явления, не зная, что это фракталы. Мы подобны одному герою Мольера, который говорил прозой, не зная, что он говорит прозой.

Тем не менее определить, что такое фрактал, в общем виде до­вольно трудно. До сих пор не было дано ни одного достаточно хо­рошего общего определения. Для нашей цели (а это, напомним, культурология) просто перечислим некоторые накопленные к на­стоящему времени признаки явления и понятия фрактал:

1)   как явление фрактал есть нечто, обладающее самоподобием, подобием своих частей целому (в самом грубом виде пример — матрешка: меньшая куколка вкладывается в большую, большая в еще большую и т. д.: в «негрубом» виде — признак 6 ниже);

2)   фрактал есть явление, утверждающее себя (существующее) в динамике (пока матрешки просто стоят рядом, мы не можем знать, есть ли у них подобие части и целого, это обнаруживается только при вкладывании, т. е. в процессе); фрактал есть процесс;

3)  на предыдущем примере видно, что это явление одновремен­но объективное и субъективное, зависимое от внешнего по отноше­нию к нему субъекта (человека-наблюдателя, измерителя, агенса процесса);

4)   свойства такого объективно-субъективного процесса есть од­на из характеристик фрактала (например, линия морского берега становится явно тем длиннее, чем более мелкий масштаб использу­ется для ее измерения; только при этом условии обнаруживается и другое свойство фрактала — самоподобие, подобие целого и части, то, что одна и та же форма (изгиб берега) встречается в разных мес­тах в разных размерах);

5)  свойства как объективного процесса, так и процесса его изме­рения зависят от его длительности (времени), они изменяются в пределах от строгой регулярности до хаоса;

6)    соответственно, математически они описываются в разных своих точках то действительными числами как линейные процессы на прямой, то комплексными числами не на прямой, а в плоскости;

 

192

последнее исследуется математикой нелинейных процессов (Б. Ман- дельброт в одном месте выразился так: «Я заинтересовался фракта­лами, инвариантными относительно нелинейных преобразований, хотя начинал с "самоподобных" фракталов, инвариантных относи­тельно линейных преобразований»);

7)  в компьютерной графике (особенно при использовании цвета) они дают невиданные зрительные образы, в чем-то аналогичные образам в тех течениях искусства, который получили наименование «Абстракция» (см. в нашей книге на цветной вклейке).

8)  фракталы лежат между искусством и наукой, стирая ранее из­вестные границы между ними.

По всем этим причинам для нашей книги естественно ввести особый эволюционный семиотический ряд, возглавляемый концеп­том «Фракталы». Мы начнем его этюдом, который является нашим собственным исследованием (первая публикация [Степанов 1975; 2-е изд. 2001, 115—119; 3-е изд. 2002]).

2. Числа Фибоначчи. Начальные наблюдения над фракталами в естественной среде (в экологии животных и растений)

Итальянский математик Фибоначчи в 1202 г. сформулировал следующую задачу: пара кроликов приносит раз в месяц приплод из двух крольчат (самки и самца), причем новорожденные крольчата через два месяца после рождения в свою очередь приносят приплод. Сколько кроликов появится через год, если в начале года была одна пара кроликов? В ходе решения этой задачи Фибоначчи и нашел свой ряд чисел, о котором ниже. Числа Фибоначчи — одно из начал математического подхода к фракталам.

Мы, со своей стороны, столкнулись с рядом Фибоначчи, рас­сматривая открытие немецкого языковеда Я. Гримма и моделируя его в виде последовательной серии нескольких моделей. Как из­вестно, Якоб Гримм во втором издании первого тома своей «Германской грамматики» впервые четко сформулировал соотно­шение согласных между индоевропейским, общегерманским и верх­ненемецким языками (диалектами), дал этому соотношению назва­ние «передвижения согласных» (Lautverschiebung) и выразил его в табличной форме [Grimm 1822, 581, 584]. В качестве представителей

 

193

индоевропейского языка Гримм рассматривал латинский, древне­греческий и санскрит (в таблицу он вынес только греческий), в каче­стве представителя общегерманского — готский, сознавая, что гот­ский, конечно, не тождествен общегерманскому, но именно пред­ставляет его в интересующем фонетиста отношении. Соотношение согласных индоевропейского и общегерманского (в таблице у Гримма, следовательно, греческого и готского) утвердилось впо­следствии в лингвистической литературе под названием «первого, или общегерманского, передвижения согласных». В качестве верх­ненемецких диалектов Гримм рассматривал здесь древневерхнене­мецкий. Соотношение общегерманского состояния и древненемец­кого как состояния ряда диалектов в определенную позднейшую эпоху (у Гримма — готского и древневерхненемецкого) утвердилось под названием «второго, или верхненемецкого, передвижения со­гласных». Гримм писал: «В точности так же, как древневерхнене­мецкий во всех трех разрядах (губных, зубных, задненебных. — Ю. С.) спустился на одну ступень от готского, так уже и сам готский до этого уклонился на одну ступень от латинского (греч., инд.). Гот­ский относится к латинскому точно так, как древневерхненемецкий к готскому. В целом... двойное передвижение согласных представ­ляется в табличной форме таким образом» (здесь у Гримма следует воспроизводимая ниже табличка:

Греч.

Гот.

Д.-в.-н.

Р В F F Р В B(V) F Р

Т D ТН ТН Т D D Z Т

м

К G СН СН К G G СН К

Таблица Гримма представляет собой модель в форме матрицы. Ее содержание часто выражают и в виде иной модели — круга (рис. выше). Буквы при этом означают следующее: М — звонкие (mediae) b, d, g; Т — глухие (tenues) р, t, k; A — придыхательные (aspiratae).

Co времени Гримма написанное о германском передвижении со­гласных достигло почти необозримого объема. В этой массе литера­туры отчетливо выделяется линия фонетического объяснения и мо­делирования. Она достаточно полно представлена у Э. Прокоша в его «Сравнительной грамматике германских языков» [Прокош 1954, 41—43], см. табл. на с. 194. Модель Прокоша значительно богаче и полнее модели Гримма. Прокош стремится представить весь ряд

 

194

последовательных фонетических изменений, что на примере зубных выглядит так:

t>t'>l)>e>d>d>d>t.

Латинским t' с перевернутым апострофом Прокош обозначает _% придыхательный смычный, латинским d с кружком внизу — глухой слабый d, остальные знаки общеприняты. Зубные выбраны не слу­чайно: в них процесс представлен полнее, чем в других локальных рядах согласных (этапы VII, VIII, IX, указанные ниже, в других ря­дах отсутствуют). Кроме того, Прокош дает свой опыт относитель­ной хронологии передвижения. Этот опыт, конечно, как справедли­во указывали критики, нуждается в дополнениях и уточнениях, но поскольку мы здесь будем рассматривать модель Прокоша, то при­ведем его относительную хронологию целиком (исключив лишь его слишком категорические пометы «наша эра»).

I	Догерманский:	0(-dh) >5 — греч. вира: уерм. *5ura (англ. door 'дверь')
II	Германский:	до н. э. — t > t' > J) — лат. tres: гот. t>reis, англ. three 'три'
III	Германский:	«закон Вернера» — )э > 5 — гр. яатт|р: гот. fadar (пишется fadar)
IV	Германский:	d > t — лат. edo: гот. itan, англ. eat 'есть, кушать'
V	Промежуточный:	5 > d — герм. *dura — гот. daur; гот. fa5ar; др. — англ. faeder
VI	Верхненемецкий:	t > ? — гот. itan : др.-в.-нем. е??ап
VII	Верхненемецкий:	d > d > (> t) — гот. daur : др.-в.-нем. dor, tor
VIII	«Немецкий»:	\> > p — гот. frreis : др.-в.-нем. dhri (Исидор)
IX	«Немецкий»:	5 > d — др.-в.-нем. dhn > dri

(Заметим, что этапы VIII и IX имеются также в нидерландском и скандинавских языках.) В качестве исходного индоевропейского пункта начала передвижения Прокош принимает не звонкие приды­хательные, а «слабые» глухие спиранты, то есть bh, dh, gh = ср, 0, Его модель покажем на рис. на с. 195.

Модель Прокоша не дает вполне адекватного представления о существе процесса (главным образом потому, что автор хотел учесть не существо эволюции, а мелочи реальной исторической хронологии, осложненной территориальными перемещениями гер­манских племен, чем несколько затуманил картину). Мы здесь будем

 

195

рассматривать этапы германского передвижения прежде всего как идеализированный, абстрагированный от исторических случайно­стей, общий процесс развития германской фонологической системы, процесс эволюции, подчиняющийся внутренним семиотическим принципам. Для этого мы внесем в модель Прокоша следующие два изменения: 1) в относительной хронологии Прокоша мы меняем местами V и VI этапы (см. табл. на с. 194), 2) на этапе t > ? (бывший VI, теперь V) мы интерпретируем знак ? как знак аффикаты типа ts или ф с тенденцией перехода в сильный спирант.

Рассматривая теперь модель Прокоша, мы замечаем, что при пе­реходе от этапа II к этапу III мы не пересекаем в ней ни одной оси, тогда как при переходе от этапа III к этапу IV пересекаем одну ось. Регулярность продолжается и дальше, в целом так:

Переход от этапа к этапу	Сколько осей пересекается
От II к III	0
От III к IV	1
От IV к V	0
От V к VI	1
От VI к VII	0
От VII к VIII	1
От VIII к IX	0

Отмеченная регулярность должна быть отчетливо выявлена в модели, и это требование составляет третье условие, наряду с отме-

 

196

ченными выше двумя. Принимая во внимание эти условия, нетрудно видеть, что улучшенная модель Прокоша должна быть не кольцом, а спиралью.

Чтобы построить спираль, о которой идет речь в следующем разделе, можно на диаграмме Прокоша (рис. на с. 195) расположить обозначения этапов процесса не в четырех точках — пересечениях четырех осей с кругом, а в девяти точках, спустив отметку каждого следующего этапа вниз по ее оси. Так, точка, соответствующая эта­пу I, останется на своем месте, следующая по кругу точка — V (на нашей измененной схеме у нее теперь номер VI) спустится несколь­ко ниже на своей оси; следующая за ней, в том же направлении ча­совой стрелки, точка с отметкой IV — еще ниже и т. д., пока не рас­положим в пространстве круга все девять точек. Если затем мы со­единим их линией, то получится спираль. Однако эта модель не бу­дет удовлетворять всем условиям, а именно трем, о которых было сказано выше. Если расположение точек на все меньших витках спирали будет наглядно выражать уменьшающийся объем фонем­ных классов, участвующих в передвижении, то расположение не­скольких точек на одной оси будет по-прежнему приводить к иллю­зии того, что соответствующие этапы передвижения тождественны. Чтобы избежать этого, нужно взять вместо четырех осей восемь, так, чтобы каждая отметка имела собственную ось. Поскольку всего от­меток — 9, то девятая (а не восьмая, как раньше) окажется под пер­вой. Это означает, что относительное положение «первого, догерманского» этапа передвижения, начальная точка всего процесса на этой схеме, окажется относительно сдвинутой против диаграммы Прокоша, иной. Значение этого будет обсуждено ниже. Вся схема спирали имеет вид, как на рис. на с. 197.

На приведенной схеме номер каждого этапа передвижения, рим­ская цифра, соответствует номеру круга. Оси, выходящие из центра и пронумерованные арабскими цифрами, символизируют типы фо­нетических переходов. Спираль соединяет точки в порядке римских номеров. Модель позволяет предсказать дальнейшее направление процесса: так, если бы процесс продолжался, то следующими этапа­ми были бы точки X, XI, XII, взятые на схеме в скобки.

Теперь вернемся к начальной точке спирали. Ее положение не было нами заранее определено из каких-либо априорных или даже фактических соображений. В построении этой модели мы шли от более новых этапов передвижения согласных к более древним, от конечных точек спирали к ее началу. При этом и оказалось, что если модель в общем верна, т. е. если большинство ее точек расположено

 

197

именно так, то последняя по построению точка, а именно начало спирали, должна принять такое положение, как на схеме. Оно соот­ветствует тому, что первый этап германского передвижения соглас­ных моделируется не как передвижение и.-е. bh, dh, gh > ср, 0, % > f, J), h по Прокошу, а иначе: bh, dh, gh > b, d, g > Б, 6, g. Эта начальная точка, полученная нами автоматически на модели, в силу «логики модели», соответствует более новой и более признанной реконст­рукции Ж. Фурке [Fourquet 1948] и группе гармонизирующих с ней и друг с другом работ [Макаев 1962; Раевский 1969].

Обсудим теперь некоторые абстрактные вопросы, возникающие в связи с приведенной моделью. Откуда вообще взялась сама спи­раль с выражающим ее числом — дробью 3/8, то есть — 8 основных точек на 3 оборота спирали?

Спирали такого рода — хорошо известные в ботани­ке схемы листорасположения. У большинства растений листья располагаются на стеблях настолько правильно, что сущест­вуют точные правила описания их расположения. Если соединить основания листьев в порядке их следования на стебле линией, то эта линия образует спираль. После одного или нескольких оборотов спирали дойдем до листа, который будет находиться на одной вер­тикальной линии с первым листом. Часть спирали от какого-либо одного листа до другого, находящегося с ним на одной вертикаль­ной линии, называется циклом. Чтобы определить листорасположение

 

198

Схема листорасположения (а) в сравнении со схемой германского передвижения согласных (б)

данного растения, нужно знать число оборотов спирали одного цик­ла и число находящихся в нем листьев. Листорасположение выража­ется дробью, числитель которой показывает число оборотов спира­ли, а знаменатель — число листьев цикла. Простейший случай лис­торасположения— 1/2. Это двурядное расположение, в котором третий лист приходится над первым. Все возможные листорасполо­жения выражаются таким рядом дробей— 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34 и т.д. (ср. [Новый энциклоп. словарь Брокгауза— Ефрона, 24 (1915), 628]).

Таким образом, модель германского передвижения согласных, о которой шла речь выше, выражается точно такой же спиралью, ка­кой в проекции на плоскость, на плане, выражается один из возмож­ных в природе случаев листорасположения, а именно четвертый случай от начала приведенного ряда, и его формула 3/8.

_ х

к(1)

	э		d	d 1	7*----- 1 t I	t I	* !	> .
	* ч	г|	d	d j	t 1	* 1 1 i	* !	i !
	Э		d	d 1		t 1	> !	I I
	d I		d	d I		. 1 t 1	*	*
	ь j		d	d ;		A 1 1 f	>	I i
	Ъ 1		d	d 1		t 1	*	> !
	* !		d	d !		t I	]> I	* i
	ь !		d	-		i--- 1	* !	l—l

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

Спирали разобранного выше вида легко преобразуются в раз­вертки. Если мы заменим приведенную выше спираль (см. рис. на с. 197) ее разверткой (рис. выше, а) (такие же развертки обычно де­лаются для схем листорасположения), то получим новую, четвертую модель германского передвижения, что также будет иметь некото­

 

199

рый смысл, так как раскроет некоторые новые черты этого явления (рис. на с. 198, а и б).

В этом смысле нашу модель можно назвать бионической, т. е. совпадающей с моделью какого-либо другого явления, естественно существующего в природе. Разумеется, все это вовсе не означает, чтобы в германском передвижении согласных было нечто похожее на расположение листьев у растения, кроме того, что и то и другое моделируются одинаковым геометрическим и — шире — математи­ческим способом.

Мы выявили здесь некий абстрактный принцип, которому под­чиняется германское передвижение согласных, и можем пойти не­сколько дальше в выяснении его математической природы.

Приведенный выше ряд дробей обладает двумя замечательными свойствами. Ряд знаменателей и ряд числителей, начиная со второй дроби, образуют так называемые числа Фибоначчи. Каждое число в ряду Фибоначчи получается как сумма двух пред­шествующих ему чисел. Кроме того, каждое число в ряду Фибонач­чи может быть получено как сумма чисел некоторых сочетаний. Ес­ли C(kri) — число сочетаний из п элементов по к, то число Фибонач­чи выражается формулой

F(n) = C°_n+i + C^!_n + C²_n-i + ... + C^p_n-p+i,

где p = (w+1)/2, если n нечетно, и p = и/2, если n четно (см. [Ви- ленкин 1969, 155—157]). Число п соответствует порядковому номе­ру дроби в ряду дробей.

Другое замечательное свойство ряда чисел Фибоначчи заключа­ется в том, что он выражает так называемое отношение золо­того сечения, известное в истории и теории искусства. Золотое сечение разделяет отрезок на две части так, что большая часть отно­сится к меньшей, как весь отрезок — к его большей части. Начиная от дроби 8/5, 13/8 и так далее (как составляются эти дроби, легко видеть из приведенного выше ряда дробей), каждая дробь выражает отношение золотого сечения, причем тем точнее, чем дальше от на­чала этого ряда.

Таким образом, в известном смысле можно сказать, что герман­ское передвижение согласных подчинено также и эстетическому принципу наилучшего соотношения. Подробные лингвистические толкования этой и других особенностей здесь мы оставляем в сто­роне, их можно найти в упомянутой книге [Степанов 1975; 2-е изд.

 

200

2001, 115—119; 3-е изд. 2002, 115—119]. Но все же резюмируем их в одной строчке: в эволюции языков от древних индоевропейских к германским и далее «сквозь» их семью фракталы обеспечивают ин­вариантное оптимальное соотношение согласных звукотипов (фонем) в системе.

 

201

снижаться, когда размеры популяции приближаются к пределу. Таким образом, он пришел к необходимости рассматривать пере­менный коэффициент прироста, а процесс роста становился нели­нейным.

Когда параметры роста превысят 200%, становится невозмож­ным достижение оптимальной численности популяции. Если при этом популяция мала, то ее энергичный рост неизбежно приводит к превышению оптимального размера, что вызывает ответную реак­цию — уменьшение популяции до размеров, значительно меньших оптимального. После этого появляются устойчивые колебания меж­ду двумя размерами — большим и меньшим (см. рис. на с. 202, а, б).

Когда параметр роста превысит 245%, происходит дальнейшее усложнение процесса: колебания происходят сначала между 4, затем 8, затем 16 различными величинами численности популяции и так далее, пока для параметров, больших 257%, не возникает хаос. «Что мы понимаем под хаосом? Попросту говоря, система выходит из-под

 

202

контроля. Не существует способа предсказать ее поведение на дли­тельное время. Беспорядочные скачки вверх и вниз (рис. на с. 202, б) упорно продолжаются и никогда не превратятся в упорядоченную последовательность. (...) Процесс по-прежнему описывается законом Ферхюльста, последовательность определена своим начальным зна­чением — и все же ее поведение невозможно предсказать, остается предоставить процессу развиваться самому по себе» [Пайтген, Рих­тер 1993, 22] (весь предшествующий текст и схемы-рис. на с. 193— 197 также по этой книге).

Анализ процесса Ферхюльста, продолжают авторы [Указ. соч., 24 и сл.],— превратил идею детерминированного процесса в предмет обсуждения и выявил некоторые универсальные свойства сложных динамических процессов. Были открыты и другие сценарии столь же общего характера. Ключевым словом является типич­ность: некоторое поведение («поведение процесса») является ти­пичным.

«Крайне значительно установить принципы, характеризующие соотношения между индивидуальными сценариями. Бенуа Б. Ман­дельброту это удалось сделать в 1980 г., когда он обнаружил множе­ство, носящее теперь его имя. (...) Идея, использованная Мандельб- ротом, состояла в том, чтобы вместо действительных чисел рассмот­реть комплексные и наблюдать процесс х₀> xj> X2... не на прямой, а в плоскости. Читателю, не знакомому с комплексными числами, от­чаиваться здесь не стоит: достаточно лишь представить себе, что правило х_п —> /(х_п) указывает, куда должна переместиться точка в плоскости, а не на прямой. (...) В центре внимания оказалась при­рода границ между различными областями. Можно представить себе центры — аттракторы, которые ведут борьбу за влияние на плос­кости; любая начальная точка х₀ либо в течение процесса приходит к

 

203

тому или другому центру, либо лежит на границе и не может при­нять определенное решение. (...) Процесс Мандельброта математи­чески эквивалентен процессу Ферхюльста. Формула такая же про­стая:

х_п +1 =f (х_п) = Хп + с» [Указ. соч., 24].

Примером границ этого рода является уже упомянутая выше ли­ния морского берега, измеряемая с изменением масштаба измере­ния. Это Мандельброт и назвал фрактальной структурой такой границы.

Здесь мы оставляем наш обзор, отсылая заинтересовавшегося чита­теля к обширной в настоящее время литературе— прежде всего к упомянутой уже книге [Пайтген, Рихтер 1993], а также к книгам са­мого Б. Б. Мандельброта [Mandelbrot 1983, 1995]. В работе [1983, chapter 21] выпукло показана роль концепта «Случайность» («Chan­ce»), играющего большую роль также и в нашей концепции (см. гл. I, введение № 2; гл. IV, разд. 11 и др.).

А. Фракталы в современном изобразительном искусстве (в «Абстракции» и «Авангарде»)

Графические изображения, созданные компьютером (с принте­ром), стали распространяться уже несколько десятилетий назад, их называют иногда компьютерной графикой. Вначале преследовались

 

204

чисто практические и научно-прикладные цели — замена длинных перечней чисел, таблиц и т. д. криволинейными графиками, рисун­ками и т. п., что значительно удобнее для восприятия. Никто, не ис­ключая и ее создателей, не считал компьютерную графику течением в искусстве. Не считаем его таковым и мы здесь.

Под компьютерным искусством мы понимаем нечто иное, более значительное — зрительные изображения, возникающие в компью­тере и принтере из подлинно научных (не прикладных), иногда весьма абстрактно-теоретических задач. Очень многие программы получения фракталов (фрактальных процессов) приводят на дисплее компьютера (и принтере), особенно при использовании цвета (но также и в черно-белом варианте), к неожиданным изображениям поразительной красоты. Они не зависят от вмешательства, а следо­вательно — от «свободной воли», человека, работающего с такими программами. Можно сказать, что сама глубинная Природа с ее ма­тематическими законами и ее красотой проявляет себя таким обра­зом. (Не случайно и Б. Мандельброт одну из основных своих работ, книгу [1983], назвал не именем человека — автора, а иначе — «Фрак­тальная геометрия Природы».)

В настоящее время получены многие сотни образцов такого ком­пьютерного искусства, они теоретически обсуждаются, устраиваются

 

205

их выставки и т. д. [Пайтген, Рихтер 1993]. Названная здесь книга имеет характерный заголовок — «Красота фракталов. Образы ком­плексных динамических систем».

Мы не последуем за этим пониманием красоты. (Скорее, она внушает нам ужас. В нашем сознании пульсирует иное— фраза Паскаля по поводу безграничной Вселенной: «Le silence absolu de ces plaines infinies m'effraie» — «Абсолютное безмолвие этих без­граничных пространств меня ужасает».)

Но все же как частный случай понимание красоты в данном «комплексном явлении», «наука — искусство», может быть интерес­но. Как высказался один из тонких людей, «картины, представленные

 

206

на этой "выставке", можно рассматривать и с другой точки зре­ния— они просто прекрасны! Хаотический компонент, заметный в очень мелких структурах, не захватывает всю картину. Существуют большие регулярно упорядоченные области, причем порядок и хаос гармонически сбалансированы друг с другом» (Г. Айленбергер в кн. [Пайтген, Рихтер 1993, 159]).

В этом случае мы готовы присоединиться к автору и даже до­полнить его впечатление нашей иллюстрацией— сопоставлением одной компьютерной картины (изображение одного фрактала) [Указ. соч., 154] и одной из заставок В. Кандинского из его книги «О ду­ховном в искусстве» [Кандинский 1967, 14]. Правда, на этой работе Кандинского «хаотический компонент в очень мелких структурах»

 

207

не виден, но можно представить себе, что он закрыт густым черным в пользу «крупной гармонии целого»— всей структуры (рис. на с. 203).

Осталось сказать кое-что о цвете (см. ил л. на цветной вклейке).

Нетрудно видеть, что процессы, разворачивающиеся на цветном дисплее компьютера, стали одним из наиболее полных воплощений мечты «кинетистов» начала XX в. И вместе с тем — это осуществ­ление и именно «воплощение» предчувствий и предсказаний «философов искусства» Василия Кандинского, Эли Фора, Мерло- Понти.

Теоретики компьютерной технологии также, со своей стороны, полностью осознали новую связь науки, техники и искусства.

«Природные формы как искусство, — пишет один из них, Гер­берт В. Франке в своем эссе «Преломление науки в искусстве» (см. [Пайтген, Рихтер 1993, 164 и сл.]), — эта концепция Эрнста Хеккеля представляет собой выражение поразительной взаимосвязи между, казалось бы, совершенно разными областями зрительного опыта. Ви­димо, настоящее эстетическое удовольствие можно получить, путеше­ствуя, скажем, по поверхности кристалла с помощью микроскопа. В поле зрения попадают все новые области, напоминающие какие-то ландшафты, и всегда можно еще увеличивать изображение, чтобы исследовать более глубокие пласты структурных возможностей.

В представленных здесь работах обнаруживается удивительное сходство с картинами, наблюдаемыми под микроскопом. (Вспом­ним, что целый ряд ("серия") образов В. Кандинского берет начало от его работ с микроскопом.) Группа исследователей, их создавших, носит название "Комплексная динамика", что отражает научную сторону ее деятельности, но, и это очень важно, свои графические изображения они назвали новым, созданным ими термином "Ис­кусство отображени я"».

«...Но между математикой и естественными науками, — пишет Г. В. Франке, — есть существенное отличие. Всегда можно сказать, что ученый фотографирует реально существующие в природе струк­туры и выдает в каком-то смысле копии природных объектов за произведения искусства. Но такое обвинение невозможно предъ­явить математику. Использование компьютера, может, внешне и напоминает использование микроскопа, но то, что мы с его помо­щью получаем, представляет собой в чистом виде продукт человече­ского разума и не обязательно имеет аналоги в природе. Поэтому картины, которые удалось получить группе "Комплексная динами­ка", — это вовсе не исключительно удачный зрительный образ при­

 

208

роды, напротив, их основное содержание придумано авторами. ...Можно, конечно, говорить, что темы компьютерных рисунков не­обычны для искусства, что они интересуют только ученых и техно­логов и, стало быть, могут рассматриваться как искусство лишь в рамках научно-технической субкультуры. Но в этом обвинении на­чисто игнорируется тот факт, что проблематику комплексных сис- тем можно обнаружить в самой основе биологической жизни и со­циальных систем, в происхождении Вселенной и даже в философии. То есть это в самом деле искусство, если следовать обычным опре­делениям. И если его и можно считать ненастоящим, то лишь по той причине, что оно создавалось с помощью компьютера».

Что, — добавим мы от себя, — конечно, не препятствие для при­знания искусством, как об этом свидетельствует вся история совре­менного искусства, пунктирно прочерченная нами выше.

Еще один аргумент за такое решение вопроса — искусство или не искусство? — аргумент «за» связан с цветом. В микрофотографии красители или поляризационные фильтры используются только для того, чтобы сделать те или иные области более различимыми для человеческого глаза, и соответствующие цвета не имеют никакого отношения к реальной окраске объекта. Во многих случаях вообще нельзя сказать, какова «окраска» объекта на микроуровне. Тем не менее то, что получается в результате на цветной фотографии, наде­лено «красотой» — это и есть «компьютерное искусство».

Еще более четко тот же «тезис о цвете» проходит в компьютер­ных изображениях математических объектов. Здесь-то уж заведомо ясно, что эти объекты не окрашены. И все же, когда применяется окраска для, скажем, разных «аттракторов», точек притяжения, — разная для разных точек, то результат оказывается столь же — как сказать теперь? — «зрелищным».

Вернемся теперь к нашей ведущей для данного раздела линии — к форме. И — поскольку речь идет о форме — просто взглянем.

Приведенная форма (рис. на с. 209) — это один из фракталов в черно-белом варианте. Другая — фрактал в цветном варианте с дис­плея компьютера (фото 38 из книги «Красота фракталов», см. на цветной вклейке). Их сходство с произведением «кинетического ис­кусства», например с произведением Виктора Вазарели (р. 1908), поражает. И оно далеко не случайно. Более того, это сходство выра­жает самое существо процессов, происходящих в ментальных мирах наших дней, в конечном счете — стирание границ между наукой и искусством. Хотя, конечно, «стирание границ»— это лишь очень грубое, резкое и трафаретное выражение.

209

«Кинетическое искусство» как движение в художест­венном мире возникло в 20-е гг. прошлого века в стремлении ху­дожников опровергнуть традиционное представление о произведе­нии искусства— картине, скульптуре— как о чем-то статичном. Конечно, не обошлось без прямого влияния кинематографа, но суть новаторства заключалась вовсе не в смыкании с кино, а в преобразо­вании самого традиционного искусства живописи и скульптуры. В первую очередь дело шло об абстрактной живописи и абстрактной скульптуре, о становлении нового течения — «абстракционизма».

Зачинателями «кинетизма» (хотя они, по-видимому, еще не употребляли этого термина) были Александр Родченко в России и братья Певзнеры, Наум (впоследствии работавший под псевдонимом Габо) и Антон, также в России, впоследствии в США. Движение бы­ло подхвачено Огюстом Эрбеном (Auguste Herbin) (1882-1960) во Франции, Йозефом Альберсом (1888-1976) в Германии и США и многими другими. В последние годы наиболее значительно его представляли Виктор Вазарели, Николай Шёффер (р. 1912) во Франции, Хесус Рафаэль Сото (р. 1923) в Венесуэле и другие. В Рос-

 

210

сии-СССР с 1962 г. это течение было представлено Львом Нусбергом (р. 1937) и группой «Движение».

Кинетисты осознали форму как форму движения, и это представление эволюционировало в параллели эволюции техники и в зависимости от нее — техники изображения и техники в полном смысле слова. Родченко представлял себе форму как «момент», _% «срез» процесса, осуществленный, скажем, с помощью фотографии. Шёффер — как сам процесс, представленный на некотором времен­ном отрезке (он работал в тесном сотрудничестве с электронной фирмой «Филипс»). Сото и другие — как некий процесс, в который вовлечен смотрящий, зритель-участник; одно из произведений Сото, «Проницаемое», представляет собой комнату или зал, заполненный густо свисающими сверху лентами из чего-то подобного фольге, частично прозрачными, они непрестанно колышутся от легкого ветер­ка или сквозняка, и зритель-участник, проходя, ощущает их легкие касания на своем лице, руках, шее, на всех открытых частях тела...

5. Неотчетливые фракталы в русской литературе XIX—XX вв. М. Ю. Лермонтов, А. Блок, В. Набоков

Конечно, это уже история или, как любят выражаться молодые сторонники искусства фракталов, «антиквариат».

Но между этим «антиквариатом» и этим «модерном» пролегло поле художественных событий, течений и просто фактов.

Примером фрактала в сфере фольклора может служить известная русская побасенка:

У попа была собака,

Он ее любил.

Она съела кусок мяса, —

Он ее убил.

И на камне написал:

У попа была собака,

Он ее любил.

Она съела кусок мяса, —

Он ее убил.

И на камне написал:

У попа была собака...

Представим себе, что вложенные одна в другую части этой по­басенки в печатном виде набраны разным шрифтом— первая са­

 

211

мым крупным, вторая более мелким, третья еще более мелким и т. д. Мы получим тогда нечто вполне подобное матрешке...

Имеются два замечательных «фрактальных» произведения в русской поэзии — одно у Лермонтова, другое у Александра Блока. Первым побуждением исследователя сегодня, казалось бы, должно было быть такое: расположить эти два явления в их исторической последовательности и посмотреть, какова— если она есть— эво­люция. Однако это было бы, скорее, подходом историка литературы или, в лучшем случае, «эволюциониста». Наша точка зрения совер­шенно иная: мы обретаемся сейчас в мире концептов и форм, вне­временном и бесконечном. Наша задача — усмотреть, если это мож­но сделать, нечто в закономерностях самого этого мира. К тому же — и это гармонирует с нашей задачей — каждое из этих явлений уже исследовано, без всякого отношения к математике и, уж разумеется, даже без намека на фракталы — в двух замечательных эссе, принад­лежащих двум другим представителям русской словесности. Эти эссе (хотя их авторы, очевидно, вовсе не знали о работах друг друга) обра­зуют иную, новую линию последовательности — последовательности открытия законов, на которой этюд о Лермонтове вовсе не выглядит в каком бы то ни было смысле «более ранним» или «менее развитым», чем этюд о Блоке. Какую же из двух линий мы должны предпочесть в нашем очерке, о чем говорить сначала, а о чем в конце?

Мы выбираем последовательность, обратную исторической, по­тому что в связи с Лермонтовым более отчетливо обрисовываются те самые— все еще «не названные»— черты формы, которые составляют здесь наш сюжет. Итак, сначала о Блоке.

Стихотворение Блока «Двойник», 1909 г.

Обратим внимание на совпадение дат: «Двойник»— 1909 г. (окончательный текст 1914 г.), первый том «Истории искусства» Эли Фора— 1909 г., окончание работы Василия Кандинского над книгой «О духовном в искусстве»— 1910 г. И через четыре года после этого — мощный творческий и теоретический импульс Алек­сандра Родченко и братьев Певзнеров.

Приведем текст стихотворения полностью:

Однажды в октябрьском тумане

Я брел, вспоминая напев.

(О, миг непродажных лобзаний!

О, ласки некупленных дев!)

 

212

И вот — в непроглядном тумане

Возник позабытый напев.

И стала мне молодость сниться,

И ты, как живая, и ты...

И стал я мечтой уноситься

От ветра, дождя, темноты...

(Так ранняя молодость снитбя.

А ты-то, вернешься ли ты?)

Вдруг вижу — из ночи туманной,

Шатаясь, подходит ко мне

Стареющий юноша (странно, Не снился ли он мне во сне?),

Выходит из ночи туманной

И прямо подходит ко мне.

И шепчет: «Устал я шататься,

Промозглым туманом дышать,

В чужих зеркалах отражаться

И женщин чужих целовать...»

И стало мне странным казаться,

Что я его встречу опять...

Вдруг — он улыбнулся нахально, —

И нет близ меня никого...

Знаком этот образ печальный,

И где-то я видел его...

Быть может, себя самого

Я встретил на глади зеркальной?

Это произведение исследовано в этюде Д. Е. Максимова «Об од­ном стихотворении ("Двойник")» [Максимов 1975; далее цит. по этому изд.]. Свою трактовку Максимов, на наш взгляд совершенно правильно, подчиняет центральной для своей книги о Блоке идее — идее пути. «Систему циклов Блока в составе той или другой его книги не следует рассматривать исключительно как реализацию со­существующих, как бы застывших во времени сфер лирического сознания. Порядок расположения циклов у Блока, как правило, со­ответствует пути поэта, процессу развития лирического содержания, отдельным "психо-логическим" стадиям этого процесса, который не всегда совпадает с реально-эмпирической хронологией, но воспри­

 

213

нимается как подобие движения во времени, то есть создает некий воображаемый хронологический ряд...» (С. 144—145). «Двойник» входит в цикл «Страшный мир» и воспринимает и «отсветы моло­дых идеалов поэта», его юности, и «мерцающие отражения» его со­временных и даже будущих прозрений. Поэтому, опять-таки на наш взгляд, совершенно правильно и тонко в этом ключе трактует Мак­симов и тему двойничества. «Двойничество в творчестве Блока — явление пути, неизбежный феномен развития поэта» (С. 148). Но далее у Максимова все слишком подчинено этой магистральной ли­нии, а другие потенции стихотворения как бы обрезаны или даже не замечены.

Обратил внимание, конечно, Максимов и на цикличность фор­мы, на «симметричные повторы»:

Однажды в октябрьском тумане...

И вот — в непроглядном тумане...

И стала мне молодость сниться...

(Так ранняя молодость снится...)

Вдруг вижу из ночи туманной...

Выходит из ночи туманной...

Но они истолкованы также в смысле основной темы — «пути» в «Страшном мире» и светлых точках опоры в нем.

Мы обратим внимание на другое: в стихотворении есть другая, а именно фрактальная цикличность— система снов, как бц вставленных один в другой. Первая строфа: в призрачной, туманной действительности поэт бредет, вспоминая напев... — он пребывает в каком-то промежуточном мире между реальностью и воспоминани­ем; это можно, конечно, и не называть еще «сном», но это нечто близкое к нему; обозначим эту часть стихотворения как «нулевую». (0). Вторая строфа: И стала мне молодость сниться... — это уже настоящий сон (1), вставленный в полусон первой строфы. Третья строфа: «сон во сне» (2) хотя и со знаком вопроса, данным самим поэтом («Не снился ли он мне во сне?»). Четвертая строфа — самая загадочная и странная в этом странном произведении, ее содержание алогично: И стало мне странным казаться, Что я его встречу

 

214

опять... По прямому смыслу слов это почти невозможное утвержде­ние: «мне стало казаться странным» нечто, что еще не произошло; «оно» еще не произошло, но уже «стало казаться»; значит, есть уве­ренность, что «оно» произойдет? Но тогда «оно»— уже нечто «данное»?.. Эту строфу естественнее всего истолковать как полу- бред-полусон (но ведь почти такой же и в первой строфе); назовем _% это «сном третьим» (3). И наконец, пятая строфа: зеркало; но это также сон (4), лишь принявший форму материального предмета: все происходящее «вставлено» в зеркало, как до этого один сон был вставлен в другой; но в композиции эта замена «сна» на «зеркало» очень важна — она позволяет отразить все снова в пространст­во первой строфы: Быть может, себя самого Я встретил на глади зеркальной?

Итак, перед нами система четырех снов, вставленных один в другой. Но отразить эту связь в линейной схеме не так просто. В линейном плане речи, повествования, «фабулы» это будет схема, читающаяся «слева направо»,— каждый прежде упомянутый сон включает в себя последующий: (0) —> (1) —> (2) —> (3) —»(4); внутри рассказа о первом сне возникает рассказ о втором, внутри рассказа о втором — рассказ о третьем и т. д. Но по содержанию отношение прямо противоположное: ведь «содержание» первого сна переходит, переключается в содержание второго, содержание второго — в со­держание третьего и т. д.: (0) <-(1) <- (2) <- (3) <- (4).

Последний, четвертый сон, «сон — зеркальное отражение» спу­тывает эти две линии: мы уже не можем сказать определенно, в ка­ком направлении мы «движемся» или «читаем»...

Глубоко содержательный, или моральный, смысл этого построе­ния я здесь понять не могу, ограничусь тем, что указана его «фрак­тальная красота».

(Я не уверен, что хорошо изложил эту схематизацию в словес­ной форме: слово «включает в себя» двусмысленно. Возможно, лучше было бы изложить эту композицию словесно так: в линейном плане, прибегнем здесь к компьютерному термину «on line», «на линии», каждый следующий «сон» читается просто по времени по­сле предыдущего; что касается отношений «вне линии», «off line», то здесь налицо отношения именно «включения». Но опять-таки, что включается во что? В прямом пространственном смысле каждый последующий сон рассказывается внутри рассказа о предыдущем сне. Но по набору «признаков», то есть по «содержанию» в логиче­ском смысле, кажется — наоборот, предыдущий сон включен в по­следующий?) (см. разд. «On line» — гл. IV, разд. 7).

 

215

Стихотворение Лермонтова «Сон» («В полдневный жар в долине дагестана...»), 1841 г.

Стихотворение— не хочется сказать «написано»— создано в последний год жизни поэта. Как и в случае со стихотворением Блока «Двойник», отношение даты к содержанию здесь не случайно, хотя, как мы увидим ниже, вовсе в другом смысле.

Приведем стихотворение целиком:

В полдневный жар в долине Дагестана

С свинцом в груди лежал недвижим я;

Глубокая еще дымилась рана,

По капле кровь точилася моя.

Лежал один я на песке долины;

Уступы скал теснилися кругом,

И солнце жгло их желтые вершины

И жгло меня — но спал я мертвым сном.

И снился мне сияющий огнями

Вечерний пир в родимой стороне.

Меж юных жен, увенчанных цветами,

Шел разговор веселый обо мне.

Но в разговор веселый не вступая,

Сидела там задумчиво одна,

И в грустный сон душа ее младая

Бог знает чем была погружена;

И снилась ей долина Дагестана;

Знакомый труп лежал в долине той;

В груди его, дымясь, чернела рана,

И кровь лилась хладеющей струей.

Стихотворение проанализировано Владимиром Набоковым в его предисловии к английскому переводу произведений Лермонтова 1958 г., также на английском языке (ниже цитируем обратный рус­ский перевод: «Предисловие к "Герою нашего времени"» в кн.: В.Набоков. Романы. Рассказы. Эссе. СПб. [Набоков 1993]). «Это замечательное сочинение... — пишет Набоков, — можно было бы назвать "Тройной сон". Некто (Лермонтов или, точнее, его лириче­

 

216

ский герой) видит во сне, будто он умирает в долине у восточных отрогов Кавказских гор. Это Сон 1, который снится Первому Лицу. Смертельно раненному человеку (Второму Лицу) снится в свою очередь молодая женщина, сидящая на пиру в петербургском, не то в московском особняке. Это Сон 2 внутри Сна 1.

Молодой женщине, сидящей на пиру, снится Второе Лицо (этот человек умирает в конце стихотворения), лежащее в долине далекого Дагестана. Это Сон 3 внутри Сна 2 внутри Сна 1, который, сделав замкнутую спираль, возвращает нас к начальной строфе.

Витки пяти этих четверостиший сродни переплетению пяти рас­сказов, составивших роман Лермонтова "Герой нашего времени"...» [Указ. соч., 239]; далее у Набокова следует подробный анализ ком­позиции этого романа, который мы здесь опускаем.

Но вот что примечательно для нас — последние, заключитель­ные строки набоковского эссе:

«...Щемящий лиризм и очарование этой книги в значительной мере заключаются в том, что трагическая судьба самого Лермонтова каким-то образом проецируется на судьбу Печорина, точно так же как сон в долине Дагестана зазвучит с особой выразительностью, когда читатель вдруг поймет, что сон поэта сбылся» (С. 249).

Эти строчки Набокова помогают нам понять и смысл «фрактального» построения— а ведь именно так построен «Сон» Лермонтова: мы понимаем «вставленность» части в целое, включен­ность отдельного события в неслучайную цепь событий.

Но тогда — что же это за свойство фракталов, этих форм, кото­рые обладают Симметрией, Динамикой, Красотой? Сводится ли от­крытое здесь свойство к одному из уже названных?

Я думаю — нет. Это свойство — одухотворенная законосооб­разность. Фракталы открывают нам, что она — есть. Так, я думаю, можно назвать это— ранее неназванное— свойство фракталов. Фракталы — это одухотворенные формы...

В. Кандинский обратил внимание мыслящих и видящих людей, художников прежде всего, на то, что абстрактные формы— тре­угольник, ромб, круг, квадрат и бесчисленное множество других, это существа в царстве форм (гл. II, разд. 5). Теперь к ним нужно при­соединить существа высшего рода— фракталы. Фракталы— оду­хотворенные формы.